题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,,且满足方程组,连接

1)求的面积;

2)动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动,连接,设点运动的时间为秒, 的面积为 试用含的式子表示

3)在的条件下,点,点上一点,连接,点延长线上,且,连接 当点轴负半轴上, 四边形的面积与的面积比为时,求此时值和点的坐标.

【答案】16;(2;(3)此时t的值为,点E的坐标为(3).

【解析】

1)利用加减消元法解方程组即可求解;

2)分类讨论:当点P在点O右侧时,当点P在点O左侧时,利用三角形的面积公式表示即可;

3)根据题意画出相应的示意图,在x轴上取点F,使得MFMB,连接FEFN,在x轴的正半轴上取一点P ',使得OP'OP,连接AP',过点NNH⊥AB于点H,先证△P'AB△EFB,可得BE82t,再证△NHB△AOP可得NHAO3,进而可表示出四边形的面积与的面积,最后根据面积之比为4910列出方程求解即可求得t的值,再过点EEG⊥x轴于点G,进而可证得△EGB∽△AOB,通过相似三角形的性质即可求得点E的坐标.

解:(1

①×3+②×2,得

13a39

a3

a3代入②得

b4

∴原方程组的解为

A03),B40),

OA=3OB4

答:的面积为6

2)当0t≤2时,

t2时,

综上所述:

3)如图,在x轴上取点F,使得MFMB,连接FEFN,在x轴的正半轴上取一点P ',使得OP'OP,连接AP',过点NNH⊥AB于点H

MFMBMEMN

∴四边形EFNB为平行四边形,

∴EF∥BN

∠EFB∠FBN

OP'OPOA⊥x轴,

AP'AP

∠APO∠AP'O

∠APO∠ABN

∠AP'O∠ABN

∠P'AB+∠ABP'∠FBN∠ABP'

∠P'AB∠FBN

∠EFB∠P'AB

∵点M1.50),点B40

MFMB2.5

BF5

AB5

∴ABBF

△P'AB△EFB中,

∴△P'AB△EFBASA

∴BEBP'

BP2tBO4,

OP'OP2t4

BEBP'OBOP'4(2t4)82t

NH⊥AB∠AOP90°

∠NHB∠AOP90°

△NHB△AOP中,

∴△NHB△AOPAAS

NHAO3

MEMN

解得

BE82t

如图,过点EEG⊥x轴于点G

EG∥y轴,

∴△EGB∽△AOB

解得

∴点E的坐标为(3

答:此时t的值为,点E的坐标为(3).

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