题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,,,且满足方程组,连接,.
(1)求的面积;
(2)动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动,连接,设点运动的时间为秒, 的面积为, 试用含的式子表示;
(3)在的条件下,点,点是上一点,连接,点在延长线上,且,连接, 当点在轴负半轴上,,, 四边形的面积与的面积比为时,求此时值和点的坐标.
【答案】(1)6;(2);(3)此时t的值为,点E的坐标为(3,).
【解析】
(1)利用加减消元法解方程组即可求解;
(2)分类讨论:当点P在点O右侧时,当点P在点O左侧时,利用三角形的面积公式表示即可;
(3)根据题意画出相应的示意图,在x轴上取点F,使得MF=MB,连接FE、FN,在x轴的正半轴上取一点P ',使得OP'=OP,连接AP',过点N作NH⊥AB于点H,先证△P'AB≌△EFB,可得BE=8-2t,再证△NHB≌△AOP可得NH=AO=3,进而可表示出四边形的面积与的面积,最后根据面积之比为49:10列出方程求解即可求得t的值,再过点E作EG⊥x轴于点G,进而可证得△EGB∽△AOB,通过相似三角形的性质即可求得点E的坐标.
解:(1)
①×3+②×2,得
13a=39,
a=3,
将a=3代入②得
b=4,
∴原方程组的解为
∴A(0,3),B(4,0),
∴OA=3,OB=4,
∴
答:的面积为6;
(2)当0<t≤2时,
,
当t>2时,
,
综上所述:
(3)如图,在x轴上取点F,使得MF=MB,连接FE、FN,在x轴的正半轴上取一点P ',使得OP'=OP,连接AP',过点N作NH⊥AB于点H,
∵MF=MB,ME=MN,
∴四边形EFNB为平行四边形,
∴EF∥BN,
∴∠EFB=∠FBN,
∵OP'=OP,OA⊥x轴,
∴AP'=AP,
∴∠APO=∠AP'O,
∵∠APO=∠ABN,
∴∠AP'O=∠ABN,
∴∠P'AB+∠ABP'=∠FBN+∠ABP',
∴∠P'AB=∠FBN,
∴∠EFB=∠P'AB,
∵点M(1.5,0),点B(4,0)
∴MF=MB=2.5,
∴BF=5,
∵AB=5,
∴AB=BF,
在△P'AB与△EFB中,
∴△P'AB≌△EFB(ASA)
∴BE=BP',
∵BP=2t,BO=4,
∴OP'=OP=2t-4,
∴BE=BP'=OB-OP'=4-(2t-4)=8-2t,
∵NH⊥AB,∠AOP=90°,
∴∠NHB=∠AOP=90°,
在△NHB与△AOP中,
∴△NHB≌△AOP(AAS)
∴NH=AO=3,
∴
∵ME=MN,
∴
,
∵
∴
∵
∴ ,
解得
则BE=8-2t=
如图,过点E作EG⊥x轴于点G,
则EG∥y轴,
∴△EGB∽△AOB,
∴
∴
解得,,
∴
∴点E的坐标为(3,)
答:此时t的值为,点E的坐标为(3,).