Question

【题目】感知定义

在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．

尝试运用

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．

①证明△ABD是“类直角三角形”；

②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．

类比拓展

（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②CE＝；（2）当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．

【解析】

（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．

②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,证明△ABC∽△BEC,可得,由此构建方程即可解决问题．

（2）分两种情形:①如图2中,当∠ABC+2∠C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB．则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．

②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．

（1）①证明:如图1中,

∵BD是∠ABC的角平分线,

∴∠ABC＝2∠ABD,

∵∠C＝90°,

∴∠A+∠ABC＝90°,

∴∠A+2∠ABD＝90°,

∴△ABD为“类直角三角形”;

②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,

在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,

∴AC＝,

∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,

∴∠ABE+2∠A＝90°,

∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,

∴∠A＝∠CBE,

∴△ABC∽△BEC,

∴,

∴CE＝,

（2）∵AB是直径,

∴∠ADB＝90°,

∵AD＝6,AB＝10,

∴BD＝,

①如图2中,当∠ABC+2∠C＝90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB,则点F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,

∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,

∴∠CAD+∠DAF＝180°,

∴C，A，F共线,

∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,

∴∠C＝∠ABF,

∴△FAB∽△FBC,

∴,即 ,

∴AC＝．

②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,

∴∠C+2∠ABC＝90°,

∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,

∴△DAC∽△FBC,

∴,即,

∴CD＝（AC+6）,

在Rt△ADC中,[ （ac+6）]2+62＝AC2,

∴AC＝或﹣6（舍弃）,

综上所述,当△ABC是“类直角三角形”时,AC的长为 或．