题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系中，直线
与
轴、
轴分别交于点
和点
，直线
与轴、轴分别交于点
和点
，直线与相交于点
，线段
、
的长是-元二次方程
的两根(
)， 
，点的横坐标为3，反比例函数
的图象经过点．
（1）若直线与反比例函数图象上除点外的另一交点为
，求
的面积：若点
在轴上，若点
在轴上，求
的最小值：
（2）若点
在坐标轴．上，在平面内存在一点
，使以点、、、为顶点的四边形是矩形且线段
为矩形的一条边， 直接写出符合条件的点坐标．
【答案】（1）72，20；（2）N点的坐标为(9，
)、(9，
)或(10，12)
【解析】
（1）先解一元二次方程，得出0A, OC，即可得点A,C坐标，进而求出OB,得出B点坐标，进而求出直线AB解析式，即可得出点E坐标，再求出点P坐标，再用面积的差求出三角形ECP的面积；作出点P关于x 轴的对称点P’,作出点E关于y轴的对称点E', P’E'就是
的最小值．
（2）先确定出直线CE解析式，再过点E作直线CE的垂线与坐标轴相交于M, M’,求出MM’的解析式，进而根据矩形的性质，求出直线BN, CN, M'N’最后求直线交点坐标即可．
（1）∵线段OA、OC的长是一元二次方程的
两根(OA>OC)，
∴OC=6，OA=12，
∴A(12,0),C(6,0)，
∴OB=
OA=16，
∴B(0,16)，
设直线AB解析式为y=k′x+16，
∴12k′+16=0，
∴k′=，
∴直线AB解析式为y=x+16，
∵AB与CD相交于点E，点E的横坐标为3，
∴E(3,12)，
∵反比例函数
的图象经过点E，
∴k=3×12=36，
如图1，
∵点P在直线AB上，
∴设P(m,m+16)，
由(1)知，k=36，
∴反比例函数解析式为y=36x，
∵点P还在反比例函数的图象上，
∴m×(m+16)=36，
∴m=3(舍)或m=9，
∴P(9,4)，
由(1)知,A(12,0),C(6,0),E(3,12)
∴AC=18
∴S△ECP=S△ECAS△PCA=12AC×|yE|12AC×|yP|=12AC×(|yE||yP|)=12×18×(124)=72；
如备用图，作点P关于x轴的对称点，
∵P(9,4)，
∴P′(9,4)，
作点E关于y轴的对称点，
∵E(3,12)，
∴E′(3,12)，
连接P′E′交x轴于R，交y轴于S，此时，PR+RS+RE最小，
最小值=P′E′=
（2）如图2,由(1)知,C(6,0),E(3,12)，
∴直线CE解析式为y=x+8，
∵以点C，E，
∴过点E作MM′⊥CE，
∴直线MM′的解析式为y=
x+
④，
∴M(0,).M′(19,0)，
过点M作MN∥CE，
∴直线MN解析式为y=x+,①
过点C作CN⊥MN，
∴直线CN的解析式为y=x
②
①联立①②得,x=9,y=，
∴N(9,)，
②过点M′作M′N′⊥MM′交直线CN于N′
∴直线M′N′的解析式为y=x
③，
联立②③得，x=10，y=12，
∴N′(10,12)，
③过M′′作M′′N′⊥CN交MM′于N，
∵直线CN的解析式为y=x
∴M′′N′′的解析式为y=x⑤，
联立④⑤解得,x=9,y=，
∴N′′(9,)
∴满足条件的N点的坐标为(9,)、(9,)或(10,12)
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