Question

【题目】如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE．

（1）求证：DC平分；

（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：

（3）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BE⊥AB，理由见解析；（3）．

【解析】

（1）根据旋转的性质可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADC即可证明∠ADC=∠CDE；

（2）根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；

（3）设BD=BE=a，根据勾股定理计算出AB=DE=，表达出AD，再证明△ACD∽△BCE，得到即可．

解：（1）由旋转可知：AC=CD，∠A=∠CDE，

∴∠A=∠ADC，

∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；

（2）BE⊥AB，

理由：由旋转可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，

∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，

又∵∠ACB=90°，

∴∠CAD+∠ABC=90°，

∴∠CBE+∠ABC=90°，

即∠ABE=90°，

∴BE⊥AB；

（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，

∴设BD=BE=a，则，

又∵AB=DE，

∴AB=，则AD=，

由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，

∴△ACD∽△BCE，

∴，

∴tan∠ABC=．