题目内容
如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的.这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A,顶点为P,∠OPA=90°;
①求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式;
②求如图所示的抛物线对应的二次函数在-
≤x≤
时的最大值和最小值.
①求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式;
②求如图所示的抛物线对应的二次函数在-
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(1)∵抛物线由y=-x2平移得到,
∴设y=-(x-a)2+b(a>0)
∵抛物线过(0,0),代入得0=-a2+b,
∴b=a2,y=-(x-a)2+a2
过P作PM⊥x轴于M,OM=a,PM=a2
∵P是抛物线顶点,
∴PO=PA,
∴OM=AM,PM=
=OM,
∴a2=a,
∴a=1或a=0(舍去),
∴P(1,1),抛物线的解析式为y=-(x-1)2+1=-x2+2x;
(2)∵由(1)可知抛物线的顶点P(1,1),解析式为y=-(x-1)2+1=-x2+2x,
∴抛物线对应的二次函数在-
≤x≤
时,当x=
时,y最大=-
+2×
=
;
当x=-
时,y最小=
-2×
=-
.
∴设y=-(x-a)2+b(a>0)
∵抛物线过(0,0),代入得0=-a2+b,
∴b=a2,y=-(x-a)2+a2
过P作PM⊥x轴于M,OM=a,PM=a2
∵P是抛物线顶点,
∴PO=PA,
∴OM=AM,PM=
OA |
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∴a2=a,
∴a=1或a=0(舍去),
∴P(1,1),抛物线的解析式为y=-(x-1)2+1=-x2+2x;
(2)∵由(1)可知抛物线的顶点P(1,1),解析式为y=-(x-1)2+1=-x2+2x,
∴抛物线对应的二次函数在-
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当x=-
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