题目内容
【题目】已知函数f（x）= 
（e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意x∈（ 
，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）= 
，Tn=1+2[g（ 
）+g（ 
）+g（ 
）+…+g（ 
）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有 
+ 
+ 
+…+ 
＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（Ⅰ） 
= 
依题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．
得： 
，
∴a=0，
（Ⅱ）对任意的 
，（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立．
等价于xex﹣m（2x﹣1）≥0对 恒成立，
即 
对 恒成立
令 
，则m≤t（x）最小
∵ 
由t′（x）=0得：x=1或 
（舍去）
当 
时，t′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0
∴t（x）在 
上递减，在（1，+∞）上递增
∴t（x）最小=t（1）=e，
∴m≤e．
（Ⅲ） 
= 
，
，
∴ 
，
因此有 
由 
，
得2Tn=2+2[1+1+…+1]=2+2（n﹣1）=2n，∴Tn=n．
，取n=2m（m∈N*），
则 
= 
= 
，
当m趋向于+∞时， 趋向于+∞．
所以，不存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），
都有 
成立
【解析】（Ⅰ）求出导数，利用条件列出方程，即可求实数a的值；（Ⅱ）转化条件为对 
恒成立，即 
对 恒成立，构造函数 
，求出t（x）最小 ， 即可得到实数m的取值范围．（Ⅲ）通过 
，推出 
，化简 
，推出Tn=n．然后求解 
，取n=2m（m∈N*），利用放缩法推出 
≥ 
，当m趋向于+∞时， 趋向于+∞．然后说明结果．
