Question

【题目】如图1、图2，在圆O中，OA=1，AB=，将弦AB与弧AB所围成的弓形（包括边界的阴影部分）绕点B顺时针旋转α度（0≤α≤360），点A的对应点是A′．

（1）点O到线段AB的距离是　 　；∠AOB=　 　°；点O落在阴影部分（包括边界）时，α的取值范围是　 　；

（2）如图3，线段B与优弧ACB的交点是D，当∠A′BA=90°时，说明点D在AO的延长线上；

（3）当直线A′B与圆O相切时，求α的值并求此时点A′运动路径的长度．

Answer 1

【答案】（1）；120；30°≤α≤60°（2）D在AO的延长线上（3）（3）①α=120°或300°②当α=120°时，A′运动路径的长度=；当α=300时，A′运动路径的长度=．

【解析】

⑴根据垂径定理可得AM＝BM＝,在直角三角形中可知O到线段AB的距离，再根据正弦定理，结合圆的性质即可求出答案；(2)利用直径所对的圆周角为直角的性质，得出AD为直径，进而得出点D在AO的延长线上；(3)点A'的运动路径为以B为圆心，AB为半径的圆弧，当直线A'B与圆0相切时，分两种情况，分别计算两种情况下的点A'的运动路径的长度.

（1）如图1，过点O作OD⊥AB于点D，

由垂径定理知，AD=AB=，

又OA=1，

∴sin∠AOD==，

∴∠AOD=60°．

∴OD=OAcos60°=

又OA=OB，

∴∠AOB=2∠AOD=120°．

如图2，当A′B与OB重叠时，a=∠OBA=30°；

当OB绕点B顺时针旋转至与圆相交，交点为B′，连接OB′，则OB=OB′=BB′，此时△OBB′是等边三角形，

∴∠OBB′=60°，

∴α的取值范围是：30°≤α≤60°．

故答案是：；120；30°≤α≤60°；

（2）连接AD，∵∠A′BA=90°，

∴AD为直径，

所以D在AO的延长线上；

（3）①当A′B与⊙O相切，

∴∠OBA′=90°，

此时∠ABA′=90°+30°=120°

或∠ABA′=90°﹣30°=60°

∴α=120°或300°

②当α=120°时，

A′运动路径的长度==

当α=300时，

A′运动路径的长度==．