题目内容

【题目】定义:在平面直角坐标系中,图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差yx称为P点的“坐标差”,而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”

(1)①点A(1,3) 的“坐标差”为

②抛物线y=x2+3x+3的“特征值”为

(2)某二次函数y=x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”为1,点B(m,0)与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点,且点B与点C的“坐标差”相等。

①直接写出m= (用含c的式子表示)

②求此二次函数的表达式。

(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,以M(2,3)为圆心,2为半径的圆与直线y=x相交于点DE请直接写出⊙M的“特征值”为

【答案】1① 2② 4; (2① m= c ; ②

;(3

【解析】试题分析:

1由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A13)的坐标差;

由坐标差的定义可得二次函数y=x2+3x+3图象上点的坐标差为 将此关系式配方即可求得y-x的最大值,从而得到抛物线y=x2+3x+3的“特征值”;

2由题意可得0-m=c-0由此可得m=-c

m=-c可得点B的坐标为(-c0),把点B的坐标代入中可得可得再由的特征值为1可得: 两者即可解得bc的值,由此即可得到二次函数的解析式;

3如图,过点M作直线PF⊥DE,交⊙M于点PF由已知条件易得直线PF的解析式为y=-x+5;由直线y=x上的所有点的坐标差为0,且坐标平面内在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差越大可知在⊙M上距离直线y=x最远的点是点P,设点P的坐标为(xy)由点PM的距离为2,可得到关于xy的方程,和y=-x+5组合即可解得点P的坐标,这样就可得到⊙M的特征值了.

试题解析:

1① ∵A的坐标为(13),

A的坐标差为:3-1= 2

∵二次函数的解析式为:y=x2+3x+3

该二次函数图象上所有点的坐标差都满足

,即该二次函数图象上点的坐标差的最大值为4,

∴该二次函数图象的特征值为:4;

2由已知易得点C的坐标为0c),B的坐标为(m0),

∴点C的坐标差为:c-0,点B的坐标差为:0-m,

又∵点B与点C的“坐标差”相等,

∴c-0=0-m

∴m=c

② ∵m=c

∴B(-c0

将其代入 中,

得,

∵c≠0

的“坐标差”为:

∵“特征值”为1

将①代入②中,得:

∴抛物线的表达式为

3)如图,过点M作直线PF⊥DE,交⊙M于点PF

直线DE的解析式为y=x,点M的坐标为(23),

直线PF的解析式为y=-x+5

直线y=x上所有点的坐标差都等于0而在直线y=x的右侧距离直线y=x越远的点的坐标差就越大⊙M上点P距离直线y=x最远

P的坐标差就是⊙M的“特征值”,

设点P的坐标为xy),

P到点M23)的距离为2

Pxy)在直线y=-x+5

解得

对应的

P的坐标为

P的坐标差为:

∴⊙M的“特征值”为: .

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