Question

如图，BE、CF分别是 △ABC的边AC、AB上的高，且BP=AC，CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ

Answer 1

见解析

本题考查了三角形全等的判定和性质
（1）AC⊥BE，AB⊥QC可得∠FBP=∠ECP，再有BP=AC，CQ=AB，根据SAS证得△QAC≌△APB即可；
（2）由△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF=90°即可得AP⊥AQ．
（1）证明：∵AC⊥BE，AB⊥QC     （2）∵△QAC≌△APB
∴∠BFP=∠CEP=90°                    ∴∠AQF=∠PAF
又∵∠FBP=∠EPC                       又AB⊥QC
∴∠FBP=∠ECP                         ∴∠QFA=90°
在△QAC的△APB中                    ∴∠FQA+∠FAQ=90°
BP=AC                                 ∴∠FQA+∠PAF=90°
∠FBP=∠ECP                           即∠PAQ=90°
CQ=AB                                 ∴AP⊥AQ
∴△QAC≌△APB（SAS）
∴AP=AQ