题目内容

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0≤t≤5),连接MN.

(1)若BM=BN,求t的值;

(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;

(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.

【答案】(1);(2)t=t=;(3)t=时,y的值最小.=

【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°,∠B=30°,AB=2AC=10,BC=

由题意知:BM=2t,CN=BN=BM=BN,,解得:t==

(2)分两种情况:①当△MBN∽△ABC时,则,即,解得:t=

②当△NBM∽△ABC时,则,即,解得:t=

综上所述:当t=t=时,△MBN与△ABC相似.

(3)过M作MD⊥BC于点D,则MD∥AC,△BMD∽△BAC,,即,解得:MD=t.

设四边形ACNM的面积为y,y==根据二次函数的性质可知,当t=时,y的值最小.此时,=

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