题目内容
【题目】如图，已知二次函数
（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
【答案】（1）
，M（1，5）；（2）2＜m＜4；（3）P1（
，
），P2（
，
），P3（3，1），P4（﹣3，7）．
【解析】（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数
，得：
解得：
，∴二次函数解析式为，配方得
，∴点M的坐标为（1，5）；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得：
解得：
，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F．
把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1），∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）．
∵MG=1，GC=5﹣4=1，∴MC=
=
=
，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点．
①若有△PCM∽△BDC，则有
，∵BD=1，CD=3，∴CP=
=
=
，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=，∴PH=
=，把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（，）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P2（，）；
②若有△PCM∽△CDB，则有
，∴CP=
=
，∴PH=
=3；
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7
∴P3（3，1）；P4（﹣3，7），∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（，），P2（，），P3（3，1），P4（﹣3，7）．
