Question

如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为           .

Answer 1

分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P₁，连接P₁Q，交BD于点K₁。

由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P₁K₁ =" P" K₁，P₁K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P₁K＋QK＞P₁Q= P₁K₁＋Q K₁=" P" K₁＋Q K₁。
∴此时的K₁就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P₁在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P₁总在AB上。

因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P₁Q⊥AB时P₁Q最短。
过点A作AQ₁⊥DC于点Q₁。∵菱形ABCD，∴∠ADC="∠ABC=60°" ，∴∠DAQ₁=30°。 又∵AD=AB=4，∴P₁Q=AQ₁=AD·cos∠DAQ₁= AD·cos30°=。
综上所述，PK+QK的最小值为。