Question

【题目】如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，分别作直线AE、DE．

（1）求此二次函数的关系式；
（2）在图1中，直线DE上有一点Q，使得△QCO≌△QBO，求点Q的坐标；
（3）如图2，直线DE与x轴交于点F，点M为线段AF上一个动点，有A向F运动，速度为每秒2个单位长度，运动到F处停止，点N由F处出发，沿射线FE方向运动，速度为每秒 个单位长度，M、N两点同时出发，运动时间为t秒，当M停止时点N同时停止运动坐标平面内有一个动点P，t为何值时，以P、M、N、F为顶点的四边形是特殊的平行四边形．请直接写出t值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5；

（2）

解：如图1，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，则D（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，

当x=0时，y=﹣x2+4x+5=5，则C（0，5），

∵C、E关于抛物线的对称轴对称，

∴E（4，5），

设直线DE的解析式为y=mx+n，

把D（2，9），E（4，5）代入得 ，解得 ，

∴直线DE的解析式为y=﹣2x+13，

∵△QCO≌△QBO，

∴∠COQ=∠BOQ，

∴点Q为第一象限角平分线上的点，

即OQ的解析式为y=x，

解方程组 ，解得 ，

∴Q点的坐标为（ ， ）；

（3）

解：如图2，

对称轴交x轴于点H，DH=9，FH= ，DF= ，

当y=0时，﹣2x+13=0，解得x= ，则F（ ，0），

∴AF= ﹣（﹣1）= ，

AM=2t，FN= t，则FM= ﹣2t，

当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM、FN为菱形的两邻边，则FN=FM，即 t= ﹣2t，解得t= ；

当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FN为菱形对角线，连接MP交FN于Q，则PM与NQ互相垂直平分，FQ= t，

易得△FQH∽△FHD，

∴FQ：FH=FM：FD，即 t： =（ ﹣2t）： ，解得t= ；

当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM为菱形对角线，NP与MF相交于K，如图3，则MF与NP互相垂直平分，FK= MF= （ ﹣2t），

易得△FKN∽△FHD，

∴FK：FH=FN：FD，即 （ ﹣2t）： = t： ，解得t= ；

当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠NMF=90°，

易得△FMN∽△FHD，

∴FM：FH=FN：FD，即（ ﹣2t）： = t： ，解得t= ；

当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠MNF=90°，

易得△FNM∽△FHD，

∴FM：FD=FN：FH，即（ ﹣2t）： = t： ，解得t= ，

综上所述，t的值为 或 或 或 或 ．

【解析】（1）直接利用交点式写出抛物线的解析式；（2）如图1，利用配方法得到D（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，再确定C（0，5），则E（4，5），接着利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣2x+13，然后根据全等三角形的性质得到∠COQ=∠BOQ，所以点Q为第一象限角平分线上的点，最后解方程组 得Q点的坐标；（3）如图2，对称轴交x轴于点H，先确定DH=9，FH= ，DF= ，AF= ，AM=2t，FN= t，则FM= ﹣2t，分类讨论：当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM、FN为菱形的两邻边，则FN=FM，即 t= ﹣2t；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FN为菱形对角线，连接MP交FN于Q，利用菱形的性质得FQ= t，再通过得△FQH∽△FHD得到 t： =（ ﹣2t）： ；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM为菱形对角线，NP与MF相交于K，如图3，利用菱形的性质得FK= （ ﹣2t），再通过△FKN∽△FHD得到 （ ﹣2t）： = t： ；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠NMF=90°，通过△FMN∽△FHD得到（ ﹣2t）： = t： ；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠MNF=90°，通过△FNM∽△FHD得到（ ﹣2t）： = t： ，然后分别解关于t的方程可确定满足条件的t的值．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．