Question

【题目】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABD=∠CBD=60°，AC与BD相交于点E，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点F．
（1）判断△ACD的形状，并加以证明
（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ABD=∠CBD=60°，

∴∠CAD=∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD=60°，

∴△ACD是等边三角形；

（2）解：在△ACF与△DCE中，

∴△ACF≌△DCE，

∴AF=DE=4，CE=CF=2，

∵CF是⊙O的切线，

∴FC2=FBAF，

∴22=FB4，

∴FB=1

∴AB=AF﹣BF=4﹣1=3，

∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，

∴△∠ABE∽∠DCE，

∴ = = = ，

∴ = ，

解得：CD=3．

【解析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF=DE=4，CE=CF=2，根据切线的性质得到FC2=FBAF，求得FB=1根据相似三角形的性质即可得到结论；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆内接四边形的性质和切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．