Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．

（1）求抛物线的解析式;
（2）填空：
①用含m的式子表示点C，D的坐标：
C（　 ，　 　），D（　 ， ）；
②当m=　 　时，△ACD的周长最小；
（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标.

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）依题意，得，解得

∴y=x2﹣x

（2）m；；2m；0；1
（3）

依题意，得B（m，0）

在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，

∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，

∴CD=OC=m

在RT△AOE中，OA===

∴AC=OA﹣OC=﹣m

在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5

分三种情况讨论：

①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）

②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5

解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2

解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．

【解析】（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；
（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；
②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，OA===,所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．
（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取复合体艺的点P坐标即可．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．