题目内容

如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C(0,3),连接BC、AC,该二次函数图象的对称轴与x轴相交于点D.
(1)求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式;
(2)点Q在线段BC上,使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似,求出点Q的坐标;
(3)在(2)的条件下,若存在点Q,请任选一个Q点求出△BDQ外接圆圆心的坐标.
(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A(-2,0)、B(4,0),
与y轴交于点C(0,3),
∴设二次函数为y=a(x+2)(x-4),把点C(0,3)代入得,a(0+2)(0-4)=3,
解得a=-
3
8

∴这个一次函数的解析式为:y=-
3
8
x2+
3
4
x+3;
∵y=-
3
8
x2+
3
4
x+3=-
3
8
(x-1)2+
27
8

∴抛物线的对称轴是直x=1,
∴点D的坐标为(1,0). 
设直线BC的解析式为;y=kx+b(k≠0),
4k+b=0
b=3
,解得
k=-
3
4
b=3

∴直线BC的解析式为y=-
3
4
x+3.

(2)∵A(-2,0),B(4,0),C(0,3),D(1,0),
∴OD=1,BD=3,CO=3,BO=4,AB=6,
∴BC=
OB2+OC2
=
42+32
=5,
如图1,当∠QDB=∠CAB时,
QB
CB
=
DB
AB
QB
5
=
3
6
,解得QB=
5
2

过点Q作QH⊥x轴于点H,
∵OC⊥x轴,
∴QHCO.
QH
3
=
5
2
5
.解得QH=
3
2

把y=
3
2
代入y=-
3
4
x+3,得x=2.
∴此时,点Q的坐标为(2,
3
2
);
如图2,当∠DQB=∠CAB时,
QB
AB
=
DB
CB
,即
QB
6
=
3
5
,得QB=
18
5

过点Q作QG⊥x轴于点G,
∵OC⊥x轴,
∴QGCO.
QG
3
=
18
5
5
.解得QG=
54
25

把y=
54
25
代入y=-
3
4
x+3,得x=
28
25

∴此时,点Q的坐标为(
28
25
54
25
).
综上所述,点Q坐标为(2,
3
2
)或(
28
25
54
25
);

(3)当点Q的坐标为(2,
3
2
)时,设圆心的M(
5
2
,y).
∵MD=MQ,
∴(
5
2
-1)2+y2=(
5
2
-2)2+(y-
3
2
2,解得y=
1
12

∴M(
5
2
1
12
).
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