Question

如图，在△ABC中，点D,E,F分别在BC,AB,AC 边上，且DE∥AC，DF∥AB．

（1）如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是          形；
（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是        形；
（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是            形，证明你的结论(仅需证明第⑶题结论)．

Answer 1

（1）矩形,证明见解析;（2）菱形,证明见解析;（3）正方形,证明见解析;

试题分析：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形,由题,因为DE∥AC，DF∥AB,所以四边形AEDF是平行四边形,又因为∠BAC=90°，所以四边形AEDF是矩形;（2）邻边相等的平行四边形是菱形,由(1)知四边形AEDF是平行四边形,因为AD是△ABC的角平分线，所以∠EAD=∠FAD,又因为DF∥AB,所以∠EAD=∠ADF,所以∠EAD=∠ADF,所以AF=FD,所以四边形AEDF是菱形;（3）既是矩形又是菱形的四边形是正方形,由(1)知所以四边形AEDF是矩形,由(2)知四边形AEDF是菱形,所以四边形AEDF正方形.
试题解析：（1）由题,∵DE∥AC，DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
又∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形;
（2）由(1)知四边形AEDF是平行四边形,
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD,
又∵DF∥AB,
∴∠EAD=∠ADF,
∴∠EAD=∠ADF,
∴AF=FD,
∴四边形AEDF是菱形;
（3）由(1)知四边形AEDF是矩形,
由(2)知四边形AEDF是菱形,
∴四边形AEDF正方形.