Question

如图,在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状,并说明你的理由．
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你理由．

Answer 1

（1）△ODE是等边三角形,证明见解析; （2）BD=DE=EC,证明见解析.

试题分析：（1）直观上看△ODE是等边三角形,要证明一个三角形是等边三角形,要么证明三边相等,或者有两个角是60°或者有一个角是60°的等腰三角形,由题,在等边△ABC中，AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°,又∵OD∥AB，所以∠ABC=∠ODE=60°,同理, ∵OE∥AC，所以∠ACB=∠OED=60°,所以△ODE是等边三角形;（2）直观上看BD=DE=EC,∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，所以∠ABO=∠OBD,∠ACO=∠OCD,又∵OD∥AB，所以∠OBD=∠ABO=∠BOD.所以BD=OD,∵OE∥AC，所以∠ACO=∠OCD =∠COE,所以CE=OE,由(1)知△ODE是等边三角形,所以OD=DE=OE,即BD=DE=EC.
试题解析：（1）由题,在等边△ABC中，AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°,
又∵OD∥AB，
∴∠ABC=∠ODE=60°,
同理, ∵OE∥AC，
∴∠ACB=∠OED=60°,
∴△ODE是等边三角形.
（2）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO=∠OBD,∠ACO=∠OCD,
又∵OD∥AB，
∴∠OBD=∠ABO=∠BOD.
∴BD=OD,
∵OE∥AC，
∴∠ACO=∠OCD =∠COE,
∴CE=OE,
由(1)知△ODE是等边三角形,
∴OD=DE=OE,即BD=DE=EC.