Question

如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．

求证：（1）∠EDC=∠ECD;
（2）OC=OD;
（3）OE是线段CD的垂直平分线.

Answer 1

（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）证明见解析.

试题分析：（1）要想证明∠EDC=∠ECD,只要证明DE=CE,由题, 点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，由角平分线上的点到两边的距离相等得DE=CE;（2）要想证明OC=OD,只要证明∠ODC=∠OCD,由题因为EC⊥OA，ED⊥OB，所以∠ODE=∠OCE=90°,由(1)知∠EDC=∠ECD,所以∠ODE-∠EDC =∠OCE
-∠ECD,即∠ODC=∠OCD;（3）因为点E是∠AOB的平分线上一点，OC=OD,所以OE既是CD边上的高,也是CD边上的中线,所以OE是CD的垂直平分线.
试题解析：（1）由题, 点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∵角平分线上的点到两边的距离相等,
∴DE=CE;
（2）由题∵EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠ODE=∠OCE=90°,
由(1)知∠EDC=∠ECD,
∴∠ODE-∠EDC =∠OCE-∠ECD,
即∠ODC=∠OCD;
（3）∵点E是∠AOB的平分线上一点，OC=OD,
∴OE既是CD边上的高,也是CD边上的中线,
∴OE是CD的垂直平分线.