Question

如图，在△MNP中，∠MNP=45°，H是高MQ和高NR的交点，求证：HN=PM．

Answer 1

证明见解析.

试题分析：

证明线段相等的方法一般是三角形的全等,要想证明HN=PM,找到包含这两条线段的三角形△MQP和△QHN,然后找全等的条件,都是直角三角形,有一组对顶角,在等腰直角三角形MQN中,MQ=QN,如图,∵MQ⊥PN,
∠MNP=45°,∴∠QMN=45°=∠QNM，∴QM=QN，∵NR⊥PM，∴∠1+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△HQN和△PQM中，∠1=∠2,∠3=∠4，QM=QN,∴△HQN≌△PQM（ASA），∴HN=PM．
试题解析：如图,∵MQ⊥PN,∠MNP=45°,
∴∠QMN=45°=∠QNM，
∴QM=QN，
∵NR⊥PM，
∴∠1+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△HQN和△PQM中，∠1=∠2,∠3=∠4，QM=QN,
∴△HQN≌△PQM（ASA），
∴HN=PM．