题目内容
如图，已知P是△ABC内的任意一点，过P的直线DE∥BC，GF∥AB，MN∥AC，求证：
| DM |
| AB |
| FN |
| BC |
| GE |
| AC |
考点：相似三角形的判定与性质
专题：证明题
分析：根据平行四边形的性质得出AM=PG，PF=BD，AG=PM，CE=PN，DP=BF，求出AM+BD=FG，AG+CE=MN，BF+CN=DE，根据相似得出
=
，
=
，求出
+
+
=2，求出
+
+
=3-（
+
+
），代入求出即可．
| DE |
| BC |
| AD |
| AB |
| MN |
| AC |
| BM |
| AB |
| DE |
| BC |
| FG |
| AB |
| MN |
| AC |
| DM |
| AB |
| FN |
| BC |
| GE |
| AC |
| DE |
| BC |
| FG |
| AB |
| MN |
| AC |
解答：解：∵DE∥BC，GF∥AB，MN∥AC，
∴四边形AMPG、四边形CEPN、四边形PDBF是平行四边形，
∴AM=PG，PF=BD，AG=PM，CE=PN，DP=BF，
∴AM+BD=FG，AG+CE=MN，BF+CN=DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
，
同理
=
，
∴
+
+
=
+
+
=
=
=
=2，
∴
+
+
=
+
+
=1-
+1-
+1-
=3-（
+
+
）
=3-2
=1，
即
+
+
=1．
∴四边形AMPG、四边形CEPN、四边形PDBF是平行四边形，
∴AM=PG，PF=BD，AG=PM，CE=PN，DP=BF，
∴AM+BD=FG，AG+CE=MN，BF+CN=DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
| DE |
| BC |
| AD |
| AB |
同理
| MN |
| AC |
| BM |
| AB |
∴
| DE |
| BC |
| FG |
| AB |
| MN |
| AC |
=
| AD |
| AB |
| FG |
| AB |
| BM |
| AB |
=
| AD+FG+BM |
| AB |
=
| AM+DM+AM+BD+BD+DM |
| AB |
=
| 2AB |
| AB |
=2，
∴
| DM |
| AB |
| FN |
| BC |
| GE |
| AC |
=
| AB-AM-BD |
| AB |
| BC-BF-CN |
| BC |
| AC-AG-CE |
| AC |
=1-
| FG |
| AB |
| DE |
| BC |
| MN |
| AC |
=3-（
| DE |
| BC |
| FG |
| AB |
| MN |
| AC |
=3-2
=1，
即
| DM |
| AB |
| FN |
| BC |
| GE |
| AC |
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出
+
+
=2，题目比较好，但是有一定的难度．
| DM |
| AB |
| FN |
| BC |
| GE |
| AC |
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