Question

(满分l3分)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点M是AB上的动点(不与A，B重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x．

(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S；
(2)当x为何值时，⊙O与直线BC相切?

Answer 1

解：(1) ∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．∴即．
∴AN=x．                                       ……4分
∴S=S_△MNP=S_△AMN=·x·x=x²．(0<x<4)
(2)如图D4—4，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则
AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5．
由(1)知△AMN∽△ABC．
∴即，∴MN=
∴OD=                                        ……9分
过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=．
在Rt△BMQ与Rt△BAC中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BAC
∴．∴BM==．AB=BM+AM=+x=4．
∴x=，即当x=时，⊙O与BC相切．          ……13分

略