题目内容

【题目】如图1,四边形ABCD,边ADBC的垂直平分线相交于点O.连接OAOBOCODOE是边CD的中线,且∠AOB+COD180°

1)如图2,当△ABO是等边三角形时,求证:OEAB

2)如图3,当△ABO是直角三角形时,且∠AOB90°,求证:OEAB

3)如图4,当△ABO是任意三角形时,设∠OADα,∠OBCβ

试探究αβ之间存在的数量关系?

结论“OEAB”还成立吗?若成立,请你证明;若不成立,请说明理由.

【答案】1)详见解析;(2)详见解析;(3①α+β90°;成立,理由详见解析.

【解析】

(1)OHABH,根据线段垂直平分线的性质得到OD=OAOB=OC,证明△OCE≌△OBH,根据全等三角形的性质证明;

(2)证明△OCD≌△OBA,得到AB=CD,根据直角三角形的性质得到OE=CD,证明即可;

(3)①根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算;

②延长OEF,是EF=OE,连接FDFC,根据平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质证明.

(1)OHABH

ADBC的垂直平分线相交于点O

OD=OAOB=OC

∵△ABO是等边三角形,

OD=OC,∠AOB=60°

∵∠AOB+∠COD180°

∴∠COD=120°

OE是边CD的中线,

OECD

∴∠OCE=30°

OA=OBOHAB

∴∠BOH=30°BH=AB

在△OCE和△BOH中,

∴△OCE≌△OBH

OE=BH

OE=AB

(2)∵∠AOB=90°,∠AOB+COD=180°

∴∠COD=90°

在△OCD和△OBA中,

∴△OCD≌△OBA

AB=CD

∵∠COD=90°OE是边CD的中线,

OE=CD

OE=AB

(3)①∵∠OADOA=OD

∴∠AOD=180°

同理,∠BOC=180°

∵∠AOB+COD=180°

∴∠AOD+COB=180°

180°2α+180°2β=180°

整理得,α+β=90°

②延长OEF,使EF=OE,连接FDFC

则四边形FDOC是平行四边形,

∴∠OCF+COD=180°

∴∠AOB=FCO

在△FCO和△AOB中,

∴△FCO≌△AOB

FO=AB

OE=FO=AB

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