题目内容
【题目】如图1,四边形ABCD,边AD、BC的垂直平分线相交于点O.连接OA、OB、OC、OD.OE是边CD的中线,且∠AOB+∠COD=180°
(1)如图2,当△ABO是等边三角形时,求证:OE=AB;
(2)如图3,当△ABO是直角三角形时,且∠AOB=90°,求证:OE=AB;
(3)如图4,当△ABO是任意三角形时,设∠OAD=α,∠OBC=β,
①试探究α、β之间存在的数量关系?
②结论“OE=AB”还成立吗?若成立,请你证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)①α+β=90°;②成立,理由详见解析.
【解析】
(1)作OH⊥AB于H,根据线段垂直平分线的性质得到OD=OA,OB=OC,证明△OCE≌△OBH,根据全等三角形的性质证明;
(2)证明△OCD≌△OBA,得到AB=CD,根据直角三角形的性质得到OE=CD,证明即可;
(3)①根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算;
②延长OE至F,是EF=OE,连接FD、FC,根据平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质证明.
(1)作OH⊥AB于H,
∵AD、BC的垂直平分线相交于点O,
∴OD=OA,OB=OC,
∵△ABO是等边三角形,
∴OD=OC,∠AOB=60°,
∵∠AOB+∠COD=180°
∴∠COD=120°,
∵OE是边CD的中线,
∴OE⊥CD,
∴∠OCE=30°,
∵OA=OB,OH⊥AB,
∴∠BOH=30°,BH=AB,
在△OCE和△BOH中,
,
∴△OCE≌△OBH,
∴OE=BH,
∴OE=AB;
(2)∵∠AOB=90°,∠AOB+∠COD=180°,
∴∠COD=90°,
在△OCD和△OBA中,
,
∴△OCD≌△OBA,
∴AB=CD,
∵∠COD=90°,OE是边CD的中线,
∴OE=CD,
∴OE=AB;
(3)①∵∠OAD=α,OA=OD,
∴∠AOD=180°﹣2α,
同理,∠BOC=180°﹣2β,
∵∠AOB+∠COD=180°,
∴∠AOD+∠COB=180°,
∴180°﹣2α+180°﹣2β=180°,
整理得,α+β=90°;
②延长OE至F,使EF=OE,连接FD、FC,
则四边形FDOC是平行四边形,
∴∠OCF+∠COD=180°,,
∴∠AOB=∠FCO,
在△FCO和△AOB中,
,
∴△FCO≌△AOB,
∴FO=AB,
∴OE=FO=
AB.
