题目内容
【题目】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P 是平面内不与点A，C 重合的任意一点，连接AP，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）猜想观察：如图1，当α＝60°时，
的值是________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．
（2）类比探究：如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题：如图3，当α＝90°时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在FE的延长线上，P，D，C三点在同一直线上，AC与BD相交于点M，DM＝2－
，求AP的长．
【答案】（1）1，60°；（2）
，45°，见解析；（3）1
【解析】
（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题；
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．
（3）首先证明AD＝DC，再设AP＝x得PD＝x，在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD＝
，BD＝ (2＋)x．，证明△ADM∽△BDA，得AD2＝DM·BD，列方程求解即可．
（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
∵∠PAD=∠CAB=60°，
∴∠CAP=∠BAD，
∵CA=BA，PA=DA，
∴△CAP≌△BAD（SAS），
∴PC=BD，∠ACP=∠ABD，
∵∠AOC=∠BOE，
∴∠BEO=∠CAO=60°，
∴
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，
故答案为1，60°．
(2)如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
∵∠PAD=∠CAB=45°，
∴∠PAC=∠DAB，
∵∠APD=∠ACB=90°，AP=PD，CA=CB
∴
，
∴
，
∴△DAB∽△PAC，
∴∠PCA=∠DBA，
，
∵∠BOC＝∠BEC＋∠PCA＝∠ABD＋∠BAC，∠PCA＝∠DBA，
∴∠BEC＝∠BAC＝45°，即直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
(3)∵点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，
∴EF∥AB，AE＝EC，
∴∠PEA＝∠BAC＝45°．
∵P，D，C三点在同一直线上，∠APD＝90°，
∴∠APC＝90°，PE＝AE＝EC，
∴∠EPC＝∠ECP
∵∠EPC＋∠ECP＝∠PEA＝45°，∠DAC＋∠ECP＝∠PDA＝45°，
∴∠EPC＝∠ECP＝∠DAC，
∴AD＝DC．
设AP＝x，则PD＝x，
在Rt△PAD中，由勾股定理得，AD＝
，
∴PC＝PD＋CD＝(＋1)x．由(2)知
，
∴BD＝PC＝(2＋)x．
∵∠ECP＝∠DAC，∠PCA＝∠DBA，
∴∠DAC＝∠DBA，
又∵∠ADM＝∠BDA，
∴△ADM∽△BDA，
∴
，即AD2＝DM·BD，
∴(x)2＝(2－)(2＋)x．解得x1＝1，x2＝0(不合题意，舍去)，
∴AP＝1．
【题目】某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：
x（件） | … | 5 | 10 | 15 | 20 | … |
y（元/件） | … | 75 | 70 | 65 | 60 | … |
（1）由题意知商品的最低销售单价是 元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
【题目】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销
件．已知产销两种产品的有关信息如下表：
产品 | 每件售价（万元） | 每件成本（万元） | 每年其他费用（万元） | 每年最大产销量（件） |
甲 | 6 |
| 20 | 200 |
乙 | 30 | 20 |
| 80 |
其中
为常数，且
．
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为
万元、
万元，直接写出、与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．