Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A=90°,AD=BC=4,AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

在△BOE和△DOF中,

，

∴△BOE≌△DOF(ASA)，

∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，

设BE=x，则 DE=x，AE=6x，

在Rt△ADE中,DE=AD+AE，

∴x=4+(6x) ，

解得：x= ，

∵BD=，

∴OB= BD= ，

∵BD⊥EF，

∴EO= ，

∴EF=2EO= .