Question

【题目】如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）．

（1）求BP的长；

（2）求的值；

（3）如图②当α=60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PB=4；（2）=；（3）点G运动到EB的中点位置时，QK有最小值，最小值为1．

【解析】

（1）由勾股定理得BE=2，易证△BAE∽△PEB，从而得=，即可求解；

（2）由tan∠ABE==，可得∠ABE=30°，结合旋转的性质得PE=EB，EN=EM，∠BEM=∠PEN，进而得出△BEM∽△PEN，即可求解；

（3）取PB的中点O，连接OQ，OK．设BQ交PE于J，易得BEJ=∠PQJ=90°，从而得到OQ =2，OK=1，由QK≥OQ-OK，可得QK的最小值为1，此时O，K，Q共线，然后根据α=60°证明EGM是等边三角形，求出∠EBM=30°，∠GMB=30°即可得解．

（1）如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=90°，

∵AE=AD=1，AB=，

∴BE==2，

∵BE⊥PE，

∴∠PEB=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，∠CBE+∠EPB=90°，

∴∠ABE=∠EPB，

∵∠A=∠BEP=90°，

∴△BAE∽△PEB，

∴=，

∴PB==4；

（2）∵在Rt△ABE中， tan∠ABE==，

∴∠ABE=30°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EBC=60°，

∵GH∥BC，

∴∠EGH=∠EBC=∠EMN=60°，

∵∠MEN=∠GEH=90°，

∴PE=EB，EN=EM，

∴==，

∵∠PEB=∠MEN=90°，

∴∠BEM=∠PEN，

∴△BEM∽△PEN，

∴==；

（3）如图2中，取PB的中点O，连接OQ，OK．设BQ交PE于J．

∵△BEM∽△PEN，

∴∠EBM=∠EPN，

∵∠BJE=∠PJQ，

∴∠BEJ=∠PQJ=90°，

∵BO=OP，

∴OQ=PB=2，

∵PO=OB，PK=KE，

∴OK=BE=1，

∴QK≥OQ-OK=1，

∴QK的最小值为1，此时O，K，Q共线，

∴OQ∥BE，

∴∠QOP=∠EBP=60°，

∵α=60°时，点M恰好落在GH上，

∴∠EGM=60°，

∴EGM是等边三角形，

又∵OQ=OB，

∴∠OBQ=×60°=30°，

∴∠EBM=∠EBP-∠OBQ=60°-30°=30°，

∴∠GMB=∠EGM-∠EBM=60°-30°=30°，

∴BG=GM=GE，

∴点G是BE的中点，

综上所述：点G运动到EB的中点位置时，QK有最小值，最小值为1．