Question

如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．

（1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；
（2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°
∵在△PBA和△FBC中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，
∴△PBA≌△FBC（SAS）。∴PA=FC，∠PAB=∠FCB。
∵PA=PE，∴PE=FC。
∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°。
∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°。
∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形。
（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°。
∵在△PBA和△FCB中，AB=BC，∠PBA=∠FBC，BP=BF，
∴△PBA≌△FBC（SAS）。∴PA=FC，∠PAB=∠FCB。
∵PA=PE，∴PE=FC。
∵∠FCB+∠BFC=90°，∠EPB+∠APB=90°，∴∠BPE=∠FCB。
∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形。
（3）有。
设BP=x，则PC=3﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，
 。
∵a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，
∴当x=时，S最大=。
∴当BP=时，四边形PCFE的面积最大，最大值为。

试题分析：（1）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论。
（2）由正方形的性质可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性质就可以得出结论。
（3）设BP=x，则PC=3﹣x 平行四边形PEFC的面积为S，由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式，再根据二次函数的性质就可以求出其最大值。