题目内容
如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于O点,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC。
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(1)求证:OE=OF;
(2)若BC=
,求AB的长。
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(1)求证:OE=OF;
(2)若BC=
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解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB。
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC。
又∵AE=CF,∴△OEA≌△OFC(ASA)。
∴OE=OF。
(2)如图,连接OB,
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∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF,∠ABO=∠OBF。
∵∠BEF=2∠BAC,∴∠OBE=∠BAC。
又∵矩形ABCD中,∠ABC=900,∴∠BOE=∠ABC=900。
∴△OBE∽△BAC。∴
。
∵∠BEF=2∠BAC,∴∠OAE=∠AOE。∴AE=OE。
设AB=x,AE=OE=y,则
。
∵BC=
,∴
。
由(1)△OEA≌△OFC,得AO=CO,∴
。
∴
。∴
①。
又∵
,即
,
化简,得
②。
由①②得
,两边平方并化简,得
,
∴
,∴根据x的实际意义,得x=6。
∴若BC=
, AB的长为6。
∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC。
又∵AE=CF,∴△OEA≌△OFC(ASA)。
∴OE=OF。
(2)如图,连接OB,
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∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF,∠ABO=∠OBF。
∵∠BEF=2∠BAC,∴∠OBE=∠BAC。
又∵矩形ABCD中,∠ABC=900,∴∠BOE=∠ABC=900。
∴△OBE∽△BAC。∴
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∵∠BEF=2∠BAC,∴∠OAE=∠AOE。∴AE=OE。
设AB=x,AE=OE=y,则
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∵BC=
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由(1)△OEA≌△OFC,得AO=CO,∴
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∴
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又∵
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化简,得
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由①②得
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∴
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∴若BC=
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(1)由矩形的性质,结合已知可根据ASA证出△OEA≌△OFC,从而得出结论
(2)连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,∠ABO=∠OBF,从而得到△OBE∽△BAC,设出未知数和参数:AB=x,AE=OE=y,可得
,在Rt△OBE中应用勾股定理得
,二者联立,解出x即可。
(2)连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,∠ABO=∠OBF,从而得到△OBE∽△BAC,设出未知数和参数:AB=x,AE=OE=y,可得
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