Question

【题目】已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．

（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2 ， 平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），

∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，

把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，

∴a=﹣1，

∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：解 得x2+3x+m﹣3=0，

∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，

∴△=9﹣4m+12=0，

∴m= ；

（3）

解：∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，

∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），

∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，

∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；

②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；

③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点

（4）

解：如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，

∴B（3，0），

∴OB=3，

∴AB= =4 ，

①当AP=AB=4 时，PB=8，

∴P1（﹣5，0），

②当AB=BP=4 时，

P2（3﹣4 ，0）或P3（3+4 ，0），

③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，

∴PA=PB=4，

∴P4（﹣1，0），

综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4 ，0）或（3+4 ，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．

【解析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB= =4 ，①当AP=AB，②当AB=BP=4 时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．