题目内容
17.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E.(1)如图1,连接CE,求证:△BCE是等边三角形;
(2)如图2,点M为CE上一点,连结BM,作等边△BMN,连接EN,求证:EN∥BC.
分析 (1)根据BD是△ABC的角平分线可知:∠EBC=60°,再由△BCD≌△BED,可知BC=EB.
(2)因为∠CEB=∠MNB=60°,所以E、M、B、N四点共圆,由圆周角定理即可求出得出∠NEB=∠NMB=60°,从而可知∠NEB=∠EBC=60°.
解答 解:(1)∵BD是△ABC的角平分线,
∠ACB=∠DEB=90°,
∴CD=DE,
在Rt△BCD与Rt△BED中,
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BED(HL),
∴BC=BE,
∴△BCE是等腰三角形
∵∠A=30°,
∴∠ABC=60°,
∴△BCE是等边三角形.
(2)由题意可知:∠CEB=∠MNB=60°,
∴E、M、B、N四点共圆,
由圆周角定理即可得出∠NEB=∠NMB=60°,
∴∠NEB=∠EBC=60°,
∴EN∥BC
点评 本题考查全等三角形的判定与性质,涉及等腰三角形、等边三角形的判定与性质,直角三角形的性质,综合程度较高.
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