Question

6．在数学的学习过程中，我们要善于观察规律并总结方法．下面给同学们展示了四种简便运算的方法，请认真观察与总结．
方法①：3²×5²=（3×5）²=225，${（{-\frac{1}{2}}）^2}×{6^2}={[{（{-\frac{1}{2}}）×6}]^2}$=9，…
规律：a²×b²=（a×b）²，aⁿ×bⁿ=（a×b）ⁿ（n为正整数）
方法②：3.14×23+3.14×17+3.14×60=3.14×（23+17+60）=3.14×100=314
规律：ma+mb+mc=m（a+b+c）
方法③：$（{-12\frac{3}{4}}）÷3=[{（{-12}）+（{-\frac{3}{4}}）}]×\frac{1}{3}=（{-12}）×\frac{1}{3}+（{-\frac{3}{4}}）×\frac{1}{3}=（{-4}）+（{-\frac{1}{4}}）=-4\frac{1}{4}$
方法④：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，…
规律：$\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）
利用以上方法，尝试进行简便运算：
①（-0.125）²⁰¹⁶×（-8）²⁰¹⁷
②$\frac{4}{7}×（{-\frac{5}{23}}）-（{-\frac{3}{7}}）×（{-\frac{5}{23}}）-\frac{5}{23}×2\frac{2}{7}$
③$（{-2015\frac{5}{8}}）÷（{-5}）$
④$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2016×2017}$．

Answer 1

分析 ①根据方法①，先转化为同指数幂相乘，然后逆运用积的乘方的性质进行计算即可得解；
②根据方法②，逆运用乘法分配律进行计算即可得解；
③根据方法③，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
④根据方法④，先裂项，然后进行计算即可得解．

解答 解：①（-0.125）²⁰¹⁶×（-8）²⁰¹⁷，
=（-0.125）²⁰¹⁶×（-8）²⁰¹⁶×（-8），
=[（-0.125）×（-8）]²⁰¹⁶×（-8），
=-8；

②$\frac{4}{7}$×（-$\frac{5}{23}$）-（-$\frac{3}{7}$）×（-$\frac{5}{23}$）-$\frac{5}{23}$×2$\frac{2}{7}$，
=$\frac{4}{7}$×（-$\frac{5}{23}$）+$\frac{3}{7}$×（-$\frac{5}{23}$）+（-$\frac{3}{25}$）×2$\frac{2}{7}$，
=（-$\frac{5}{23}$）×（$\frac{4}{7}$+$\frac{3}{7}$+$\frac{16}{7}$），
=（-$\frac{5}{23}$）×$\frac{23}{7}$，
=-$\frac{5}{7}$；

③（-2015$\frac{5}{8}$）÷（-5），
=2015$\frac{5}{8}$×$\frac{1}{5}$，
=（2015+$\frac{5}{8}$）×$\frac{1}{5}$，
=2015×$\frac{1}{5}$+$\frac{5}{8}$×$\frac{1}{5}$，
=403+$\frac{1}{8}$，
=403$\frac{1}{8}$；

④$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$，
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$，
=1-$\frac{1}{2017}$，
=$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息，理解各种简便运算方法的操作是解题的关键．