Question

如图，△OAB中，OA =" OB" = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N.

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.
求证：AP = BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.

Answer 1

（1）根据已知得出∠AOP=∠BOP′，从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案。
（2）
（3）10°或170°

分析：（1）根据已知得出∠AOP=∠BOP′，从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案。
（1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′。
∵在△AOP和△BOP′中，，
∴△AOP≌△BOP′（SAS）。
∴AP=BP′。
（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案。
解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，
∵AT与相切，∴∠ATO=90°。
∴。
∵×OA×TH=×AT×OT，
∴×10×TH=×8×6，解得：TH=。
∴点T到OA的距离为。
（3）如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大。理由如下：

当Q点在优弧左侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大。
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°。
当Q点在优弧右侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大。
∴∠BOQ=∠AOQ－－∠AOB=90°－80°=10°。
综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大。