Question

如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．

（1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案。
（2）（1＜x＜2）。
（3）存在这样的P点。理由见解析。

分析：（1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案。
（2）过F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BC=2，即可得出BP的取值范围。
（3）首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA•tan30°=，即可得出答案。
解：（1）证明：连接OE，

∵FE、FA是⊙O的两条切线，∴∠FAO=∠FEO=90°。
在Rt△OAF和Rt△OEF中，∵，
∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL）。
∴∠AOF=∠EOF=∠AOE。∴∠AOF=∠ABE。
∴OF∥BE。
（2）过F作FQ⊥BC于Q，

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y，
PF=EF+EP=FA+BP=x+y。
∵在Rt△PFQ中，FQ²+QP²=PF²，
∴2²+（x﹣y）²=（x+y）²
化简得：（1＜x＜2）。
（3）存在这样的P点。理由如下：
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF。
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时Rt△AFO中，y=AF=OA•tan30°=，
∴。
∴当 y=，时，△EFO∽△EHG。