Question

【题目】已知二次函数的图像与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．一次函数的图像与y轴相交于点D，其中．

（1）分别求出A、B、C三点的坐标（可以用含有字母a的代数式表示）．

（2）点P与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，点Q为抛物线上的一个动点．

①试说明点P在直线的图像上．

②若点Q在抛物线上有且只有三个位置满足，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②或

【解析】

（1）令 求解的坐标，令 求的坐标；

（2）①根据抛物线是解析式求解抛物线的对称轴，由轴对称求解的坐标，把的坐标代入可得结论，②点Q在抛物线上有且只有三个位置满足得到在在直线PB上方只能存在一个位置，即此时的面积最大，利用函数的性质求解面积的最大值，分情况建立方程求解即可．

（1）令则

解得：

令

A（-3，0）、B（a，0）、C（0，3）

（2）①

抛物线的对称轴为，

点P与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，

则中点坐标公式得：P坐标为（a-3,3）

将点P坐标（a-3,3）代入到中，得

成立

∴点P在直线的图像上

② 由题意得：

在直线PB下方始终存在两个位置，使得

则在直线PB上方只能存在一个位置，使得，

即最大时成立

由点Q在在直线PB上方，过点Q作x轴垂线，垂足为点M，

交PB于点H，交PC于点N，如图，则

，

设点

都在上，

为：，

则

当时，QH有最大值=，所以此时面积最大为

当时，，得

，则

当时，，得

，则（舍去）

综上所述：或