题目内容
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,∠ABC的角平分线BD交AC于点D,点E是线段AB上的一点,以BE为直径的圆O过点D.
(1)求证:AC是圆O的切线;
(2)求AE的长.
(1)求证:AC是圆O的切线;
(2)求AE的长.
(1)证明:连接OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD;
∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD,即∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BC,
∵BC⊥AC,
∴OD⊥AC;
又∵点D在⊙O上,
∴AC是⊙O的切线.
(2)Rt△ABC中,AC=4,BC=3,则AB=5;
在Rt△AOD中,设AD=4x,则OD=3x,OA=5x;
∵OE=OD=3x,
∴AE=OA-OE=2x,
由于AB=AE+BE=2x+6x=5,故x=
,
∴AE=2x=
.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD;
∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD,即∠ODB=∠CBD,
∴OD∥BC,
∵BC⊥AC,
∴OD⊥AC;
又∵点D在⊙O上,
∴AC是⊙O的切线.
(2)Rt△ABC中,AC=4,BC=3,则AB=5;
在Rt△AOD中,设AD=4x,则OD=3x,OA=5x;
∵OE=OD=3x,
∴AE=OA-OE=2x,
由于AB=AE+BE=2x+6x=5,故x=
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∴AE=2x=
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