Question

【题目】（1）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和 轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在 轴的负半轴、 轴的正半轴上，且AD＝2，AB＝3.

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）如图1，将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从所示的位置沿 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为 秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

①直接写出P点坐标。(用含t的代数式表示）

②当t为多少时，P、N两点重合？

③设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x；（2）①点P（t，t），②t=0或3时PN两点重合；③S存在最大值 。

【解析】

（1）已知顶点坐标，又抛物线经过原点，用待定系数可求出抛物线的函数关系式；

（2）①因为矩形和动点P都以相同的速度匀速移动，所以AO=AP=t，则点P（t，t）；

②P、N两点重合，点N横坐标是t，点N又在抛物线上，点N坐标是（t，-t2+4t），由①知，即-t2+4t=t，可求得t的值；

③当P，N重合时，多边形为三角形，高为AD，S=3；当P,N不重合时，S=梯形CDPN的面积,利用梯形面积公式构造二次函数，用求函数最值的方法解决问题.

（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（2，4）

∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+4

∵抛物线过原点

∴4a+4=0

解之：a=-1

∴y=-（x-2）2+4=-x2+4x；

（2）解： ①∵矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从所示的位置沿 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，

∴AO=AP=t，

∴点P（t，t）

②P、N两点重合，点N横坐标是t，点N又在抛物线上，点N坐标是（t，-t2+4t），由①知，即-t2+4t=t， ∴t=0或3时PN两点重合。

③当P，N重合时，多边形为三角形，高为AD，S=3；

当P,N不重合时，PN∥CD，AD⊥CD, S=梯形CDPN的面积=

∴S=﹣t2+4t-t+3=-(t- )2+

∵0＜t＜3 ∴t= 时，S 最大=

综上所述：S存在最大值 .