Question

【题目】如图，已知∠MON，点A在射线OM上．根据下列方法画图．

①以O为圆心，OA长为半径画圆，交ON于点B，交射线OM的反向延长线于点C，连接BC；

②以OA为边，在∠MON的内部，画∠AOP＝∠OCB；

③连接AB，交OP于点E；

④过点A作⊙O的切线，交OP于点F．

（1）依题意补全图形；

（2）求证∠MOP＝∠PON；

（3）若∠MON＝60°，OF＝10，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）如图所示，见解析；（2）见解析；（3）AE＝．

【解析】

（1）题干要求根据下列方法画图，根据题意用尺规补全图形即可.

（2）题干要求证∠MOP＝∠PON，根据圆周角定理知道∠MON＝2∠OCB，从而进行分析证明即可.

（3）根据FA是⊙O的切线，可以知道FA⊥OA，∠MON＝60°，利用锐角三角函数可以求知OA＝OB，进而求知∠MOP＝∠PON，求出AE的长.

解：（1）如图所示：

（2）∵∠MON＝2∠OCB，

∵∠AOP＝∠OCB，

∴∠BOP＝∠OCB＝∠AOP，

即∠MOP＝∠PON；

（3）∵∠MON＝60°，

∴∠AOP＝30°，

∵FA是⊙O的切线，

∴FA⊥OA，

∵OF＝10，

∴OA＝5，

∵OA＝OB，

∴△OAB是等边三角形，

∵∠MOP＝∠PON，

∴OE⊥AB，

∴AE＝．