题目内容

如图,顶点坐标为(2,-1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
(3)点E为直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线交于点F.问是否存在点E,使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)依题意,设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2-1,代入C(O,3)后,得:
a(0-2)2-1=3,a=1
∴抛物线的解析式:y=(x-2)2-1=x2-4x+3.

(2)由(1)知,A(1,0)、B(3,0);
设直线BC的解析式为:y=kx+3,代入点B的坐标后,得:
3k+3=0,k=-1
∴直线BC:y=-x+3;
由(1)知:抛物线的对称轴:x=2,则 D(2,1);
∴AD=
AG2+DG2
=
2
,AC=
OC2+OA2
=
10
,CD=
(3-1)2+22
=2
2

即:AC2=AD2+CD2,△ACD是直角三角形,且AD⊥CD;
∴S△ACD=
1
2
AD•CD=
1
2
×
2
×2
2
=2.

(3)由题意知:EFy轴,则∠FED=∠OCB,若△OCB与△FED相似,则有:
①∠DFE=90°,即 DFx轴;
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中,得:
x2-4x+3=1,解得 x=2±
2

当x=2+
2
时,y=-x+3=1-
2

当x=2-
2
时,y=-x+3=1+
2

∴E1(2+
2
,1-
2
)、E2(2-
2
,1+
2
).
②∠EDF=90°;
易知,直线AD:y=x-1,联立抛物线的解析式有:
x2-4x+3=x-1,
x2-5x+4=0,
解得 x1=1、x2=4;
当x=1时,y=-x+3=2;
当x=4时,y=-x+3=-1;
∴E3(1,2)、E4(4,-1).
综上,存在符合条件的点E,且坐标为:(2+
2
,1-
2
)、(2-
2
,1+
2
)、(1,2)或(4,-1).
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