题目内容

已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y=x+5经过D、M两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)连接AM、AC、BC,试比较∠MAB和∠ACB的大小,并说明你的理由.
(1)∵CDx轴且点C(0,3),
∴设点D的坐标为(x,3),
∵直线y=x+5经过D点,
∴3=x+5,
∴x=-2,
即点D(-2,3),
根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M(-1,y),
又∵直线y=x+5经过M点,
∴y=-1+5,y=4、即M(-1,4),
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4,
∵点C(0,3)在抛物线上,
∴a=-1,
即抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(3分)


(2)作BP⊥AC于点P,MN⊥AB于点N;
由(1)中抛物线y=-x2-2x+3可得:
点A(-3,0),B(1,0),
∴AB=4,AO=CO=3,AC=3
2

∴∠PAB=45°;
∵∠ABP=45°,
∴PA=PB=2
2

∴PC=AC-PA=
2

在Rt△BPC中,tan∠BCP=
PB
PC
=2,
在Rt△ANM中,∵M(-1,4),
∴MN=4
、∴AN=2,
tan∠NAM=
MN
AN
=2,
∴∠BCP=∠NAM,
即∠ACB=∠MAB.(8分)
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