题目内容
如图(1)己知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴正半轴交于点C,且
cos∠CAB=
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(2),己知点H(0,1).问在抛物线上是否存在点G,使得S△GHC=S△GHA?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(3),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(2,0),F是OC的中点,连接DF,P为线段BD上的一点,若∠EPF=∠BDF,求线段PE的长.
cos∠CAB=
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(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(2),己知点H(0,1).问在抛物线上是否存在点G,使得S△GHC=S△GHA?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(3),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(2,0),F是OC的中点,连接DF,P为线段BD上的一点,若∠EPF=∠BDF,求线段PE的长.
(1)由点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴正半轴交于点C,且cos∠CAB=
;
求得点C(0,3),把三点代入y=ax2+bx+c
得
,
解得
,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;
(2)假设在抛物线上存在点G,设G(m,n),显然,当n=3时,△AGH不存在.
①当n>3时,
可得S△GHA=
-
+
,S△GHC=m,
∵S△GHC=S△GHA,
∴m+n-1=0
由
,
解得:
或
∵点G在x=3的右侧,
∴G(
,
);
②当-4≤n<-3时,
可得S△GHA=-
-
-
,S△GHC=-m,
∵S△GHC=S△GHA,
∴左m+n+1=0,
由
解得
或
∵点G在x=3左侧,
∴G(-1,0).
∴存在点G(
,
);或G(-1,0);
(3)如图,
∵E(2,0),
∴D横坐标为2,
∵点D在抛物线上,
∴D(2,3),
∵F是OC中点,
∴F(0,
),
∴直线DF解析式为:y=
x+
,
则它与x轴交于点手(-2,0),
则FE=FD=
,∠EPF=∠PDF,∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°,
∵∠EPF=∠PDF,
∴∠BPE=∠DFP,
∴△PBE∽△FDP,
∴
=
∴PB•DP=
,
∵PB+DP=BD=
,
∴PB=
,
即P是BD中点,连接DE,
∴在Rt△DBE中,PE=
BD=
.
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求得点C(0,3),把三点代入y=ax2+bx+c
得
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解得
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∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;
(2)假设在抛物线上存在点G,设G(m,n),显然,当n=3时,△AGH不存在.
①当n>3时,
可得S△GHA=
m |
2 |
n |
2 |
1 |
2 |
∵S△GHC=S△GHA,
∴m+n-1=0
由
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解得:
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∵点G在x=3的右侧,
∴G(
3+
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2 |
-1-
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②当-4≤n<-3时,
可得S△GHA=-
m |
2 |
n |
2 |
1 |
2 |
∵S△GHC=S△GHA,
∴左m+n+1=0,
由
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解得
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∵点G在x=3左侧,
∴G(-1,0).
∴存在点G(
3+
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2 |
-1-
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(3)如图,
∵E(2,0),
∴D横坐标为2,
∵点D在抛物线上,
∴D(2,3),
∵F是OC中点,
∴F(0,
3 |
2 |
∴直线DF解析式为:y=
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3 |
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则它与x轴交于点手(-2,0),
则FE=FD=
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∵∠EPF=∠PDF,
∴∠BPE=∠DFP,
∴△PBE∽△FDP,
∴
PB |
FD |
BE |
DP |
∴PB•DP=
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2 |
∵PB+DP=BD=
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∴PB=
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即P是BD中点,连接DE,
∴在Rt△DBE中,PE=
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