题目内容
【题目】如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC，
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝8，DF＝
，求⊙O的半径．
（3）过点B作⊙O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在⊙O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）见解析
【解析】
（1）连接OA，OD，证∠OAF＝∠D，∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，∠EOD＝90°，可推出∠CAF+∠∠OAF＝90°，进一步推出结论；
（2）如图1，设半径为r，在Rt△OFD中，通过勾股定理即可求出半径的值；
（3）连接EH，证△CAE≌△HAE，推出△AEO是等边三角形，进一步证明△ABH和△ABG是等边三角形，即可推出结论．
解:（1）证明：如图1，连接OA，OD，
则∠OAF＝∠D，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴
，
∴∠EOD＝∠BOD＝
×180°＝90°，
∴∠OFD+∠D＝90°，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，
∴∠CAF+∠∠OAF＝90°，
即∠CAO＝90°，
∴OA⊥CA，
∴AC是⊙O的切线；
（2）如图1，设半径为r，
则OF＝BF﹣OB＝8﹣r，
∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，
∴（8﹣r）2+r2＝（
）2，
解得，r1＝6，r2＝2（舍去），
∴⊙O的半径为6；
（3）如图2，连接EH，
由对称性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，
又∵AE＝AE，
∴△CAE≌△HAE（SAS），
∴∠C＝∠EHA，
∵
，
∴∠EHA＝∠ABE，
∴∠C＝∠ABE，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠EAB＝90°，
∴∠OAB+∠OAE＝90°，
又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°，
∴∠CAE＝∠OAB，
∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE，
∴AC＝AB，
∴△CAE≌△BAO（ASA），
∴AE＝AO＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠AEO＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，
∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，
∵CA＝AH，CA＝AB，
∴AH＝AB，
又AHB＝60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝BH＝AH，
∵GB，GA是⊙O的切线，
∴GB＝GA，
又∠ABG＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB＝BG＝AG，
∴BH＝AH＝BG＝AG，
∴四边形AHBG是菱形．
