Question

如图，直线y1=

1

2

x+3与x、y轴交于点A、B两点，直线y2=-

1

3

x-2与x轴交于点A，点M是线段AB上的一动点，过M的直线与y轴平行，且交直线y₂于点N，点P在y轴上．若△PMN是等腰直角三角形，则符合条件的点P坐标是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：设M（x，

1

2

x+3），则N（x，-

1

3

x-2），求出MN=

5

6

x+5．当△PMN是等腰直角三角形时，分三种情况进行讨论：①当∠PMN=90°，由MN=MP列出方程

5

6

x+5=-x，解方程求出x=-

30

11

，进而求出点P坐标；②当∠MNP=90°，由MN=NP列出方程

5

6

x+5=-x，解方程求出x=-

30

11

，进而求出点P坐标；③当∠MPN=90°，MP=NP时，过P作PC⊥MN于C，根据等腰三角形三线合一的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出PC=

1

2

MN，据此列出方程-x=

1

2

（

5

6

x+5），解方程求出x=-

30

17

，进而求出点P坐标．

解答：解：设M（x，

1

2

x+3），则N（x，-

1

3

x-2），MN=（

1

2

x+3）-（-

1

3

x-2）=

5

6

x+5．
△PMN是等腰直角三角形时，可分三种情况进行讨论：
①当∠PMN=90°，MN=MP时，点P坐标为（0，

1

2

x+3），

5

6

x+5=-x，
解得x=-

30

11

，

1

2

x+3=

1

2

×（-

30

11

）+3=

18

11

，
所以点P₁坐标为（0，

18

11

）；
②当∠MNP=90°，MN=NP时，点P坐标为（0，-

1

3

x-2），

5

6

x+5=-x，
解得x=-

30

11

，
-

1

3

x-2=-

1

3

×（-

30

11

）-2=-

12

11

，
所以点P₂坐标为（0，-

12

11

）；
③当∠MPN=90°，MP=NP时，过P作PC⊥MN于C，则PC=

1

2

MN．

1

2

[（

1

2

x+3）+（-

1

3

x-2）]=

1

12

x+

1

2

，
点P坐标为（0，

1

12

x+

1

2

），
-x=

1

2

（

5

6

x+5），
解得x=-

30

17

，

1

12

x+

1

2

=

1

12

×（-

30

17

）+

1

2

=

6

17

，
所以点P₃坐标为（0，

6

17

）；
综上所述，点P坐标为P₁（0，

18

11

）或P₂（0，-

12

11

）或P₃（0，

6

17

）．
故答案为：（0，

18

11

）或（0，-

12

11

）或（0，

6

17

）．

点评：本题是一次函数的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，同一坐标轴上两点之间的距离公式，点到坐标轴的距离，综合性较强，难度适中．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．