Question

【题目】定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0， ]时，f（x）= （1﹣x），则f（x）在区间（1， ）内是（ ）
A.减函数且f（x）＞0
B.减函数且f（x）＜0
C.增函数且f（x）＞0
D.增函数且f（x）＜0

Answer 1

【答案】B
【解析】解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（﹣x）， 所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
所以函数的周期是2，
则f（x）在（1， ）上图象和在（﹣1，﹣ ）上的图象相同，
设x∈（﹣1，﹣ ），则x+1∈（0， ），
又当x∈（0， ]时，f（x）= （1﹣x），
所以f（x+1）= （﹣x），
由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）= （﹣x），
所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣ （﹣x），
由x∈（﹣1，﹣ ）得，f（x）=﹣ （﹣x）在（﹣1，﹣ ）上是减函数，且f（x）＜f（﹣1）=0，
所以则f（x）在区间（1， ）内是减函数且f（x）＜0，
故选：B．
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．