题目内容

【题目】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(﹣x),当x∈(0, ]时,f(x)= (1﹣x),则f(x)在区间(1, )内是(
A.减函数且f(x)>0
B.减函数且f(x)<0
C.增函数且f(x)>0
D.增函数且f(x)<0

【答案】B
【解析】解;因为定义在R上的奇函数满足f(x+1)=f(﹣x), 所以f(x+1)=﹣f(x),即f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),
所以函数的周期是2,
则f(x)在(1, )上图象和在(﹣1,﹣ )上的图象相同,
设x∈(﹣1,﹣ ),则x+1∈(0, ),
又当x∈(0, ]时,f(x)= (1﹣x),
所以f(x+1)= (﹣x),
由f(x+1)=f(﹣x)得,f(﹣x)= (﹣x),
所以f(x)=﹣f(﹣x)=﹣ (﹣x),
由x∈(﹣1,﹣ )得,f(x)=﹣ (﹣x)在(﹣1,﹣ )上是减函数,且f(x)<f(﹣1)=0,
所以则f(x)在区间(1, )内是减函数且f(x)<0,
故选:B.
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合,掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题.

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