Question

 已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．

小题1:（1）求B、C两点的坐标；
小题2:（2）求直线CD的函数解析式；
小题3:（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．
试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

小题1:解：（1）∵A（2，0），
∴OA=2．
作BG⊥OA于G，
∵△OAB为正三角形，∴OG=1，BG=，
∴B（1，）． ………………………………1分
连AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°．
，∴OC=．  
∴C（0，）． …………………………………2分
小题2:（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圆的直径，
又∵CD是圆的切线，∴CD⊥AC．
∴∠OCD=30°，OD=．∴D（，0）．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得 
∴直线CD的解析式为y=．…4分
小题3:（3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=，
∴四边形ABCD的周长6+．
设AE=t，△AEF的面积为S，
则AF=3+－t，S=（3+）．
∵S=（3+）=．
∵点E、F分别在线段AB、AD上，
∴   ∴…………………………6分
∴当t=时，S_最大=．…………8分

略