Question

已知:a、b、c为△ABC的三边,且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,试判断△ABC的形状.
解:∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,①
∴c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²).②
∴c²=a²+b².③
∴△ABC是直角三角形.
问:
(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ______________;
(2)错误的原因为________________________________;
(3)本题正确的解题过程:

Answer 1

(1)③  (2)除式可能为零
(3)∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴,
∴c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²).
∴a²-b²=0或c²=a²+b².
当a²-b²=0时，a=b；
当c²=a²+b²时，∠C=90度,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

(1)(2)两边都除以a²-b²,而a²-b²的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立.
(3)根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论.