题目内容
如图，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且△AEF为正三角形，四边形A′B′C′D′为△AEF的
内接正方形，△A′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形．
（1）试猜想
与
的大小关系，并证明你的结论；
（2）求
的值．
内接正方形，△A′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形．（1）试猜想
| SA′B′C′D′ |
| SABCD |
| S△A′E′F′ |
| S△AEF |
（2）求
| SA′B′C′D′ |
| SABCD |
（1）相等．
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF=60°，
∴∠BAE=15°，
∴AE=
，
同理，A′E′=
，
∴
=
，
∵所有的正方形都相似，所有的等边三角形也都相似，而相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴
=(
)2，
=(
)2，
∴
=
；
（2）由（1）知△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
设正方形ABCD的边长是a，等边三角形AEF边长为x，
∵CE2+CF2=x2，∴CE=
x，
∴BE=a-
x，
∵x2=（a-
x ）2+a2，
∴x2+2
ax-4a2=0，
舍去负根，得x=（
-
）a，
∴AE=（
-
）AB，
设正方形A′B′C′D′的边长是y，由于△A′B′E≌△D′C′F，
∴B′E=C′F=
（x-y），
在△A′B′E中，∠A′B′E=90°，∠B′A′E=30°，
∴B′E：A′B′=
（x-y）：y=tan30°=
：3，
∴y=（2
-3）x，
∴A′B′=（2
-3）AE，
∴
=
=
=9
-5
，
∴
=（9
-5
）2=312-180
．
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF=60°，
∴∠BAE=15°，
∴AE=
| AB |
| cos15° |
同理，A′E′=
| A′B′ |
| cos15° |
∴
| A′E′ |
| AE |
| A′B′ |
| AB |
∵所有的正方形都相似，所有的等边三角形也都相似，而相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴
| SA′B′C′D′ |
| SABCD |
| A′B′ |
| AB |
| S△A′E′F′ |
| S△AEF |
| A′E′ |
| AE |
∴
| SA′B′C′D′ |
| SABCD |
| S△A′E′F′ |
| S△AEF |
（2）由（1）知△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
设正方形ABCD的边长是a，等边三角形AEF边长为x，
∵CE2+CF2=x2，∴CE=
| ||
| 2 |
∴BE=a-
| ||
| 2 |
∵x2=（a-
| ||
| 2 |
∴x2+2
| 2 |
舍去负根，得x=（
| 6 |
| 2 |
∴AE=（
| 6 |
| 2 |
设正方形A′B′C′D′的边长是y，由于△A′B′E≌△D′C′F，
∴B′E=C′F=
| 1 |
| 2 |
在△A′B′E中，∠A′B′E=90°，∠B′A′E=30°，
∴B′E：A′B′=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴y=（2
| 3 |
∴A′B′=（2
| 3 |
∴
| A′B′ |
| AB |
(2
| ||
| AB |
(2
| ||||||
| AB |
| 2 |
| 6 |
∴
| SA′B′C′D′ |
| SABCD |
| 2 |
| 6 |
| 3 |
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