Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作△ABC外角∠CAM的平分线AN．
②过C作CE⊥AN，垂足为点E．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

Answer 1

（1）如图，AN、CE分别为所求；

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由如下：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC．
∵由作图知AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN=∠CAN．
∴∠DAN=∠DAC+∠CAN=

1

2

×180°=90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∴矩形ADCE是正方形．