题目内容
【题目】实验室里,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高),底面半径之比为1∶2∶1,用两个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即管子底离容器底5 cm),现三个容器中,只有甲中有水,水位高1 cm,如图所示.若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水,开始注水1分钟,乙的水位上升cm.
(1)开始注水1分钟,丙的水位上升________cm;
(2)开始注入________分钟的水量后,乙的水位比甲高0.5 cm.
【答案】 或
【解析】(1)根据题意可知,进入乙丙中的水的体积相等,而乙丙的底面积半径之比为2:1,结合圆柱的体积公式即可求出乙丙的水位之比,进而求解题(1);
欲求解乙的水位比甲高0.5cm,需要分甲的水位不变和乙的水位到达管子底部,(2)甲的水位上升两种情况讨论,可现设出未知数,即开始注入t分钟水后满足条件;当甲的水位不变时,需要判断丙的水位是否到达管子底部,有没有向乙溢水,根据题意可列出t-1=0.5,解出t并求出此时丙中水位,若丙中水位大于5则溢出,若小于5则没有溢出;解得丙中水向乙中溢出水,而甲中水位不变根据两者之差为0.5cm即可列出一元一次方程求解即可;第二种情况,需先求出乙的水位到达管子底部的时间,进而根据甲乙两者的水位差为0.5cm的等量关系列出一元一次方程求解.
(1)∵向乙和丙注入相同量的水即注入水的体积相同,而他们的底面半径之比为2:1,
根据圆柱的体积公式可知乙、丙的水位之比为:1:4.
∵当注水1分钟,乙的水位上升cm,
∴注水1分钟,丙的水位上升×4=cm.
(2)设开始注入t分钟的水量后,乙的水位比甲高0.5cm,有两种情况:
①当甲的水位不变时,
∵t-1=0.5,
解得t=,
∵×=6>5,
∴此时丙容器已向甲容器溢水.
∵5÷=(分钟),×=(cm),即经过32分钟丙容器的水到达管子底部,乙的水位上升cm,
∴+2× (t-)-1=0.5,解得t=.
②当乙的水位到达管子底部,甲的水位上升时,
∵乙的水位到达管子底部的时间为:+(5-)÷÷2=(分钟),
∴5-1-2× (t-)=0.5,
解得t=.
综上所述开始注水或分钟后,乙的水位比甲高0.5cm.