题目内容

如图,已知点A(0,4),B(2,0).

(1)求直线AB的函数解析式;
(2)已知点M是线段AB上一动点(不与点A、B重合),以M为顶点的抛物线y=(x﹣m)2+n与线段OA交于点C.
①求线段AC的长;(用含m的式子表示)
②是否存在某一时刻,使得△ACM与△AMO相似?若存在,求出此时m的值.

解:(1)设直线AB的函数解析式为:y=kx+b,
∵点A坐标为(0,4),点B坐标为(2,0),
,解得:
∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+4。
(2)①∵以M为顶点的抛物线为y=(x﹣m)2+n,
∴抛物线顶点M的坐标为(m,n)。
∵点M在线段AB上,∴n=﹣2m+4。
∴y=(x﹣m)2﹣2m+4。
把x=0代入y=(x﹣m)2﹣2m+4,得y=m2﹣2m+4,
∴C点坐标为(0,m2﹣2m+4)。
∴AC=OA﹣OC=4﹣(m2﹣2m+4)=﹣m2+2m。
②存在某一时刻,能够使得△ACM与△AMO相似。理由如下:
过点M作MD⊥y轴于点D,则D点坐标为(0,﹣2m+4),

∴AD=OA﹣OD=4﹣(﹣2m+4)=2m。
∵M不与点A、B重合,∴0<m<2。
又∵MD=m,∴
∵在△ACM与△AMO中,∠CAM=∠MAO,∠MCA>∠AOM,
∴当△ACM与△AMO相似时,假设△ACM∽△AMO。
,即
整理,得 9m2﹣8m=0,解得m=或m=0(舍去),
∴存在一时刻使得△ACM与△AMO相似,此时m=

解析试题分析:(1)设直线AB的函数解析式为:y=kx+b,将A、B两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式。
(2)①先由抛物线的顶点式为y=(x﹣m)2+n得出顶点M的坐标为(m,n),由点M是线段AB上一动点,得出n=﹣2m+4,则y=(x﹣m)2﹣2m+4,再求出抛物线y=(x﹣m)2+n与y轴交点C的坐标,然后根据AC=OA﹣OC即可求解。
②过点M作MD⊥y轴于点D,则D点坐标为(0,﹣2m+4),AD=OA﹣OD=2m,由勾股定理求出AM=m.在△ACM与△AMO中,由于∠CAM=∠MAO,∠MCA>∠AOM,所以当△ACM与△AMO相似时,只能是△ACM∽△AMO,根据相似三角形对应边成比例得出,即,解方程求出m的值即可。

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