题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点,过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c.点D为线段AB上一动点,过点D作CD⊥x轴于点C,交抛物线于点E.

(1)求抛物线的解析式.
(2)当DE=4时,求四边形CAEB的面积.
(3)连接BE,是否存在点D,使得△DBE和△DAC相似?若存在,求此点D坐标;若不存在,说明理由.

(1)y=﹣x2﹣3x+4。
(2)12
(3)存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(﹣3,1)或(﹣2,2)。

解析试题分析:(1)首先求出点A、B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(2)设点C坐标为(m,0)(m<0),根据已知条件求出点E坐标为(m,8+m);由于点E在抛物线上,则可以列出方程求出m的值.在计算四边形CAEB面积时,利用S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEB﹣SBCO,可以简化计算。
(3)由于△ACD为等腰直角三角形,而△DBE和△DAC相似,则△DBE必为等腰直角三角形。分∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况讨论。
解:(1)在直线解析式y=x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(0,4)。
∵点A(﹣4,0),B(0,4)在抛物线y=﹣x2+bx+c上,
,解得:
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣3x+4。
(2)设点C坐标为(m,0)(m<0),则OC=﹣m,AC=4+m。
∵OA=OB=4,∴∠BAC=45°。∴△ACD为等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴点E坐标为(m,8+m)。
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上,∴8+m=﹣m2﹣3m+4,解得m=﹣2。
∴C(﹣2,0),AC=OC=2,CE=6。
∴S四边形CAEB=SACE+S梯形OCEB﹣SBCO=×2×6+(6+4)×2﹣×2×4=12。
(3)设点C坐标为(m,0)(m<0),
则OC=﹣m,CD=AC=4+m,BD=OC=﹣m,则D(m,4+m)。
∵△ACD为等腰直角三角形,若△DBE和△DAC相似,则△DBE必为等腰直角三角形。
i)若∠BED=90°,则BE=DE,
∵BE=OC=﹣m,∴DE=BE=﹣m。∴CE=4+m﹣m=4。∴E(m,4)。
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上,
∴4=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=﹣3。∴D(﹣3,1)。
ii)若∠EBD=90°,则BE=BD=﹣m,
在等腰直角三角形EBD中,DE=BD=﹣2m,∴CE=4+m﹣2m=4﹣m。∴E(m,4﹣m)。
∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上,
∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4,解得m=0(不合题意,舍去)或m=﹣2。
∴D(﹣2,2)。
综上所述,存在点D,使得△DBE和△DAC相似,点D的坐标为(﹣3,1)或(﹣2,2)。

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